FUNGSI ALJabar
3.1
Definisi
Jika nilai
dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x,
maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk
menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y =
f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan
fungsi diantaranya adalah : h, F, G, f
dll. Selanjutnya fungsi dapat
D K D K
|
●
|
|
●
|
( a ) (
b )
Gambar 3.1
|
●
|
D K
Gambar
3.2
didefinisikan
sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu
anggota himpunan K (lihat Gambar 3.1). Anggota-anggota himpunan D yang
mempunyai tepat satu pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau
daerah asal (domain). Sedangkan anggota- anggota pada himpunan K yang merupakan
pasangan anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range). Sedangkan
semua anggota himpunan K baik yang merupakan pasangan dari anggota himpunan D
maupun yang bukan disebut kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak
memenuhi definisi diatas maka hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi
disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Jadi
fungsi sama
seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk setiap
masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses yang
menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.
3.2. Jenis-jenis
fungsi
Secara garis
besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan
fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya
mencakup fungsi ril saja.
3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
3.2.1.1 Fungsi
peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal
adalah fungsi yang hanya mempunyai satu peubah bebas.
Contoh 3.1 : a) y = 2x + 3 b)
y = x2
c) y
= sin x d) x2 + y2 =r2
3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak
adalah fungsi yang mempunyai lebih dari satu peubah bebas.
Contoh 3.2 : a) w = xy b) u = sin
(x+y)
c)
v = cos xy
d) t = xy+ z
3.2.2
Menurut cara
penyajiannya
3.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi
dimana peubah bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah
dari peubah tak bebasnya.
a)
b)
c) y = sin x d)
y = (x-1)2
Secara umum
fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x)
3.2.2.2 Fungsi
implisit
Fungsi implisit adalah fungsi
dimana peubah bebas dan tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh
3.4 : a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2
Secara umum
fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0
3.2.2.3 Fungsi
parameter
Bentuk umum dari fungsi
parameter adalah: x = f(t) ; y = g(t)
; t adalah parameter.
Contoh 3.5
Jika kita
tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah bebasnya, maka fungsi ril
dapat dibagi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3 berikut.
|
Fungsi
|
|
Aljabar
|
|
Transenden
|
|
Rasional
|
|
Irrasional
|
|
Bulat
|
|
Pecah
|
|
Logaritma
|
|
Trigonometri Invers
|
|
Hiperbolik Invers
|
|
Eksponen
|
|
Trigonometri
|
|
Hiperbolik
|
Gambar
3.3
3.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi
aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar rasional.
Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. Selanjutnya
fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah.
3.2.3.1
Fungsi rasional
Fungsi
rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x) dengan P(x) dan Q(x)
adalah polinomial-polinomial dan Q(x) ¹
0. Selanjutnya jika Q(x) ¹
konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi pecah. Sedangkan jika
Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut fungsi bulat.
A.Fungsi
bulat
Fungsi bulat
adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat
disebut fungsi polinomial karena bentuknya sama seperti bentuk polinomial.
Suatu fungsi yang mempunyai bentuk :
|
|
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien
an, an-1, an-2,…,
, a1, a0 adalah
bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing sukunya disebut monomial.
Pangkat n pada fungsi polionomial adalah
bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut
jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh
fungsi-fungsi polinomial.
|
Polinomial
|
Berdasarkan
|
|
|
Jumlah suku
|
Derajad
|
|
|
x2 – x – 6
|
Trinomial
|
2 (fungsi kuadrat)
|
|
x3+ 2x2 - x + 5
|
Polinomial
|
3 (fungsi kubik)
|
|
x5
|
Monomial
|
5
|
|
–5
|
Monomial
|
0 (fungsi konstan)
|
|
x + 2
|
Binomial
|
1 (fungsi linier)
|
|
x6 –4x3 – 7x + 5
|
Polinomial
|
6
|
a.Penjumlahan
dan pengurangan fungsi polinomial
Untuk
melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari fungsi polinomial
langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah mengelompokkan suku-suku yang
mempunyai faktor/faktor- faktor peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy
dan -2xy adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut dapat
dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat
pada tabel berikut :
|
Jenis suku
|
Keterangan
|
|
ax3 dan bx3
|
Mempunyai faktor peubah yang sama
|
|
ax2 dan bx2y
|
Mempunyai faktor peubah yang tidak sama
|
|
a dan b
|
Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang sama, karena
masing-masing suku dapat ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
|
Contoh 3.6
Tentukan jumlah dan selisih
dari fungsi-fungsi,
-2x2+5x+7xy dan -3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2
Penyelesaian :
Penjumlahan
(-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2
=
-3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2 Pengurangan
(-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 = 3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2
b.Perkalian
monomial
|
Hukum I : am .
an =
am+n ( 3.2 )
|
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu :
Contoh 3.7
Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y
Penyelesaian :
52.53 =
52+3 =
55 = 3125
xa.xb = xa+b
xy2 .x3y
= x.x3.y2 .y
= x4 .y3
|
Hukum II : [am]n= amn (
3.3 )
|
Contoh 3.8
Selesaikan : [42]3 dan [x3]4 Penyelesaian
:
[42 ]3 = 46 =4096 [x3 ]4 = x12
|
Hukum III
: [ambn]k= amk.bnk (
3.4 )
|
Contoh 3.9
Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2 Penyelesaian :
[{7}{52}]3 = 73 5 6 =
5359375
[x3y2]2 = x6 y4
c.Perkalian
fungsi polinomial
Proses
perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing
monomialnya dengan bantuan hukum distributif.
Contoh 3.10
Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6) Penyelesaian :
2x(x2 -5x+6) =
2x3 -10x2 +12x
Contoh 3.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2) Penyelesaian :
(3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 –
9x2 +6x+2x2 –
6x+4=3x3 –7x2 +4
d.Perkalian
istimewa polinomial
|
(axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2 (3.5)
|
Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan, sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah :
Contoh 3.12
Selesaikan
perkalian (5x2+6) (5x2-6) Penyelesaian :
(5x2+6)
(5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36
e.Pemfaktoran polinomial
Memaktorkan
polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua
polinomial atau lebih. Langkah- langkah yang harus dilakukan adalah sebagai
berikut tentukan faktor yang sama dari
masing-masing monomial dan
selanjutnya
keluarkan dari kelompoknya.
Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut.
|
Polinomial
|
Langkah I (tentukan faktor yang sama)
|
Langkah II (keluarkan faktor yang sama)
|
|
ax2+ay2
|
a
|
a(x2+y2)
|
|
3x3+2x+x
|
x
|
x(3x2+2x+1)
|
|
3a2b+5ab-4b2
|
b
|
b(3a2+5a-4b)
|
f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh 3.13
Sederhanakan fungsi
Penyelesaian
